数学界迎来了一项重大突破！

近期，GPT-6 Astra在哥德巴赫猜想的研究中取得了新成果。

一位名为Captain Sude的网友宣布：Astra已成功证明了一个与刘维尔函数相关的类哥德巴赫猜想！

具体而言，它无条件证明了哥德巴赫猜想的Liouville弱形式。

更令人惊讶的是，与普遍预期不同，Astra并非仅依赖强大的算力碾压，而是展现了极其优雅的逻辑推理。

此外，这一证明已通过Lean 4的形式化验证。

摘不下的明珠

在此前，哥德巴赫猜想这一难题已困扰人类数学家近三个世纪。

1742年，哥德巴赫在致欧拉的信中提出了这一猜想：“任一大于2的偶数，都可以表示为两个素数之和。”

为了攻克它，无数人倾注了心血。从哈代、李特尔伍德，到陈景润证明“1+2”，人类始终未能摘取皇冠上的明珠——“1+1”。

这是因为素数的分布过于诡异！

既然直接攻克困难重重，数学家们另辟蹊径，开发了一套“替身文学”——刘维尔版本的哥德巴赫猜想。

为了模拟素数，数学家引入了一个精巧的工具：刘维尔函数。

该函数记作λ(n)，其中n代表一个数字包含的质数因子的总个数。

它的规则类似一个只识别“单双数”的开关：如果一个数包含的质数块个数为偶数，则λ(n)=1。

如果包含的质数块个数为奇数，则λ(n)=-1。

所有纯质数（如2, 3, 5, 7, 11）的刘维尔函数值均为-1！然而，反之并不成立，例如8和12的λ值也是-1。

2018年，在知名数学论坛MathOverflow上，有人提出了一个弱化的哥德巴赫猜想：

对于每一个大于2的偶数N，是否总能找到两个正整数a和b，使得N=a+b，且λ(a)=λ(b)=−1。

如果经典的哥德巴赫猜想成立，那么这两个素数的刘维尔值必然都是-1，因此这个“刘维尔猜想”也必定成立。

但现在，数学家放宽了条件：加数不必是纯素数，只需其质因子个数为奇数即可！

黎曼阴影下的突围：AI给出惊人两页纸

既然条件放宽了，应该更容易证明吧？结果，它依然极其困难！

问题的核心在于，数学家希望研究这种正负交替的符号在加法组合下，是否会如同抛硬币般相互抵消，从而揭示隐藏于加法之下的深层秩序。这涉及打通数学中“乘法积木”与“加法组合”之间的桥梁。

直到2024年，数学家Alexander P. Mangerel终于取得突破。在一篇论文中，他证明了：对于所有足够大的偶数，这一猜想成立。

链接：https://arxiv.org/abs/2404.12117

但是！他的证明存在两个限制。

1. “足够大”：这意味着它不包括较小的偶数。
2. “GRH”：他的证明严重依赖于广义黎曼猜想。也就是说，只有在广义黎曼猜想成立的前提下，他的结论才成立。

而这一次，Astra和Captain Sude的团队，直接突破了这两个枷锁！

一开始，Astra发布了一份仅有2页纸的PDF。

这份精炼的论文中，Astra宣布——

无需广义黎曼猜想，可以无条件证明：所有能被4整除的正整数，都可以表示为两个刘维尔值为-1的正整数之和！

在PDF中，Astra巧妙地利用了Mangerel论文中的一个“无条件相关性界限”，结合了一个极其精妙的下降法。

定理的核心逻辑是反证法：假设存在一个奇数m（不被3整除），并且在4m这个规模下，没有任何一对和为4m的数字的刘维尔值都是-1。

接下来，Astra逐步推进。

1. 因为乘以4不会改变刘维尔值，所以m本身也不能被拆分成两个负号的数。
2. 因为乘以2会翻转刘维尔值（多了一个质因子2），所以2m不能被拆分成两个正号的数。
3. 接着，AI通过构造a+b=m且λ(a)=λ(b)=1的情况，并选取差值b−a最小的一对，利用它们与3的整除关系，强行推导出了一个矛盾！

它发现，如果假设4m没有这样的拆分，那么通过乘法与加法的交错逼近，最终会在局部迫使所有数字都带有相反的符号，这直接违背了Mangerel之前证明的界限。

就这样，仅用初等的代数推导（甚至高中生都能看懂过程），Astra便发现了无条件成立的情况。

48小时，彻底终结全偶数域

而且，这还没结束。

据项目作者Captain Sude透露，Astra在第一天证明了“4的倍数”情形后，第二天，又找到了一条全新的初等证明路线，直接将结果推广到所有大于2的偶数！

这一次，它提出了核心主张：

其中，没有任何“充分大”的限制，没有有限例外集，所有偶数，无条件成立！

而它的证明思路，更是令人拍案叫绝。

它并未使用暴力穷举，也没有靠压缩以往的解析估计，而是完成了一步漂亮的“结构转化”。

AI的逻辑链条如下。

第一步：寻找替罪羊。 AI先证明，对于每一个大于3的素数p，都存在正整数u,v，使得2p=u+v，且它们的刘维尔值都是1。如果不成立会怎样？这就构成了“加法符号模式的缺失”。

第二步：逼迫现出原形。 将刘维尔函数延拓到有限域Fp上，定义一个函数G。由于前面的“加法分解不存在”，这个函数G在局部被逼出了乘法对称性缺陷（Defects）。

第三步：完美的交换律。 这是证明中最惊艳的一笔！因为乘以-2再乘以-3，与乘以-3再乘以-2的结果相同。AI利用这个“可交换”的性质，让两条路径互相抵消，最终将所有非零缺陷全部消灭！

第四步：向全局传染。 利用一个下降引理，将局部成立的乘法规则，像病毒一样传播至整个有限域，迫使函数G变成一个全局严格的乘法对象。

第五步：致命一击（二次剩余制造矛盾）。 既然G变成了严格的乘法函数，那么任何数的平方，其G值必须是1。然而，根据二次互反律，能在有限域内找到一个素数ℓ，它明明是个“平方数”，但因为它是素数，它本身的刘维尔值又必须是-1。

于是，1 = -1。矛盾爆发！

至此，一开始“分解不存在”的假设被彻底粉碎。Liouville–Goldbach猜想在全偶数域无条件成立！

这条将加法阻碍转化为乘法刚性的论证路线，极其优雅，体现了高度抽象和直觉的顶级思维。

已通过Lean 4形式化验证

这一次，Astra还同时提交了Lean 4的完整形式化验证。

通过Lean 4验证，意味着逻辑上绝对正确。

知乎上的用户@SUNNY99 立即对Astra开源的v1.0.0版本进行了独立复核。结果令人震撼：Lean证明可以完美重新编译！

其中，最终定理与论文主张完全一致。代码里没有任何“sorry”（在Lean中代表未填补的坑）、没有乱造的自定义数学公理、所有公理依赖完全正常，249个偶数的数值冒烟测试全部通过。

看到这里，可能有人会问：这代表哥德巴赫猜想彻底被解决了吗？

我们必须严谨地说：还没有。

目前解决的，是哥德巴赫猜想的刘维尔弱化版本。

从“质因数个数为奇数的合数”跨越到“纯正的质数”，中间仍然隔着天堑。经典的哥德巴赫猜想，依然是那颗高高悬挂的果实。

但是，这绝不意味着这次突破不伟大。

首先，在纯数学意义上，它为整个数论搭起了一座打通“乘法积木”与“加法组合”的宏伟桥梁。

这可能就是未来攻克原版哥德巴赫猜想的核心钥匙。

其次，在AI意义上，这是一个历史性的奇点时刻。

一直以来，我们认为AI擅长的是海量记忆和暴力计算，比如下围棋、算蛋白质折叠。但这一次，Astra展现出了惊人的数学直觉和品味。

它像一位极具天赋的数学家，写出一篇让人类数学家直呼优雅的证明。

参考资料：

https://x.com/captain_sude/status/2099890355613155420

https://www.zhihu.com/question/2083895373177931200/answer/2084099614551102975

本文来自微信公众号“新智元”，作者：ASI启示录，编辑：Aeneas 大卫，36氪经授权发布。